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本文系统性地回顾了集合论基础知识，明确了集合运算的符号表示和定义，包括并集、交集、补集等概念。深入探讨了集合的可数性及其证明方法，特别论证了实数集不可数性的精妙证明。同时在拓扑空间视角下，阐述了邻域、极限点、闭集、开集等

本研究提出了AFT（Attention-free Transformer），通过简化注意力机制的设计，有效降低了空间复杂度至O(Td)，同时保持模型性能。分析表明AFT可视为逐通道多头注意力的变体，并结合局部注意力机制衍

本文从周期信号傅里叶级数出发，通过引入极限概念推广到非周期信号分析。详细推导了连续信号的傅里叶变换对，并阐述了离散时域的非周期信号频域表示方法。最后给出了非周期连续信号的狄利克雷条件，为信号变换的可行性提供理论基础。

本文阐述了傅里叶变换的基本原理，着重讨论周期信号的傅里叶级数展开。通过函数正交性分析，推导出傅里叶级数系数公式，并研究了复指数形式表达。详细介绍了狄利克雷条件及傅里叶变换的重要性质，包括线性、时移、时间反转等特性。同时，

在我们的日常生活中，系统无处不在，从简单的输入到输出的转换中，隐藏着复杂的数学规则与分类。在这篇文章中，我们将深入探讨系统的定义、分类及其基本特性，揭示连续与离散、线性与非线性、时不变与时变、因果与非因果等维度背后的奥秘

卷积，这一数学运算背后的奥秘，正定义了我们如何通过两个函数生成一个全新的函数。尽管公式看似复杂，但它实际上蕴含着信号与系统之间的核心联系。通过对离散和连续卷积的深入解析，我们将揭示其在图像处理和信号响应中的重要角色。为何

在信号的世界中，隐藏着丰富的数学与物理关系。你知道声音和图像也可以被视为一个函数吗？通过分辨信号的连续性与离散性，我们可以深入理解其能量与功率。本文探讨如何使用数学表达式定义这些信号的能量和功率，揭示信号所蕴含的独特特征

本文介绍对称矩阵、正定矩阵和相似矩阵的核心概念。对称矩阵满足转置等于自身，其特例是厄米特矩阵，具有实的特征值和正交特征向量。正定矩阵是特征值全为正的对称矩阵，对应的二次型恒大于零。相似矩阵通过可逆矩阵关联，描述同一线性变

奇异值分解（SVD）是一种强大的数学工具，能够将任意矩阵拆解为三个特定的矩阵形式，极大地简化数据分析和处理过程。它不仅与对称矩阵的特征分解有着深刻的联系，更在信号处理和统计学中展现出广泛的应用潜力。本文将带你领略这一理论

在复杂的数学世界中，复矩阵与复向量的概念如星辰般璀璨。它们的模长、转置和正交定义都展现出与实数的微妙差异，譬如复向量的模长需通过共轭转置定义，而厄米特矩阵与酉矩阵则是对称与正交的深刻延伸。透过这些定义，您将体会到复数带来