集合论

读者应该在高中阶段学过集合论了，在此我们复习并统一一下各种记号的写法。

对于一个集合 $A$ ，若元素 $a$ 属于 $A$ ，则记为 $a \in A$ ；反之记为 $a \notin A$ 。
对于两个集合 $A$ 和 $B$ ，若所有属于 $A$ 的元素都属于 $B$ ，并且所有属于 $B$ 的元素都属于 $A$ ，则称 $A$ 和 $B$ 相等，记作 $A = B$ 。换句话说，两个集合相等意味着他们有着一样的元素。
对于两个集合 $A$ 和 $B$ ，若 $A$ 中的元素都是 $B$ 中的元素，则称 $A$ 是 $B$ 的子集， $B$ 是 $A$ 的超集，记作 $A \subset B$ 或 $B \supset A$ ，反之记作 $A ⊄ B$ ；若 $A$ 是 $B$ 的子集并且 $A \neq B$ ，则称 $A$ 是 $B$ 的真子集 ，记作 $A ⫋ B$ 或 $B ⫌ A$ 。
如果一个集合没有任何元素，则称为空集，记作 $\emptyset$ 。
对于两个集合 $A$ 和 $B$ ，他们的并集是同时包含这两个集合的最小集合： $A \cup B = {x | x \in A or x \in B}$ 。多个集合的并集记为 $\cup_{i = 1}^{n} S_{i} = S_{1} \cup S_{2} \cup . . . \cup S_{n}$ 。
对于两个集合 $A$ 和 $B$ ，他们的交集是同时被这两个集合包含的最大集合： $A \cap B = {x | x \in A and x \in B}$ 。多个集合的交集记为 $\cap_{i = 1}^{n} S_{i} = S_{1} \cap S_{2} \cap . . . \cap S_{n}$ 。
两个事件的差是在一个集合中并且不在另一个集合中的元素的集合： $A - B = {x | x \in A and x \notin B}$ ，也记作 $A / B$ 。注意，这个运算不满足交换律。
全集是在上下文中讨论的所有元素的集合。集合 $A$ 的补集定义为全集中所有不在 $A$ 中的元素： $A^{C} = {x | x \notin A}$ 。
两个集合的 笛卡尔集 定义为： $A \times B = {(a, b) | a \in A and b \in B}$
集合的幂集是其所有子集的集合： $P (A) = {S | S \subset A}$ 。注意 $A$ 的幂集包含它自身和空集。

可数性

集合的势是描述集合大小的概念。对于有穷集合，势即为集合中元素的个数；而对于无穷集，我们有等势、优势等概念来比较两个集合的大小。

两个集合 $A$ , $B$ 等势，当且仅当在 $A$ 和 $B$ 之间存在一个 一一对应 的映射，例如一条直线的点集和 $R$ 等势，因为我们可以通过写出这个直线的参数方程来得到这个映射。

我们称一个集合可数，当且仅当这个集合有穷或和自然集 $N$ 等势。可数集是可以通过一一列举得到所有元素的集合，例如所有偶数的集合、所有质数的集合等。 $R$ 不是可数的，这一点有一个巧妙的证明：
首先我们不难发现， $R$ 和 $(0, 1)$ 是等势的，一个对应的映射是 $f (x) = \frac{\arctan x}{π} + 1$ ，那么只需证 $(0, 1)$ 不可数即可。