本文系统介绍了线性代数中的基本概念：从标量引出向量定义，重点阐述了向量空间及其子空间的结构特性。通过分析向量加法、标量乘法的运算规律，揭示了欧几里得空间与一般向量空间的本质特征，并探讨了子空间的封闭性与运算性质。

KMP算法通过前缀函数优化字符串匹配，在O(N+M)时间内实现高效查找。核心在于利用已匹配子串信息跳过不必要比较，其前缀函数计算模式串自身部分匹配关系。匹配时失败则跳转至前缀函数指示位置继续匹配，避免回溯重试。算法包含预

引言：PID（比例-积分-微分）控制通过对误差的三个维度调节实现精准控制：比例项快速响应误差，积分项消除稳态偏差，微分项抑制过冲。算法采用三量加权求和的形式调节系统输入，但在实际应用中需注意积分饱和问题并通过抗饱和算法优

本文系统介绍了概率论中的随机变量及其分布函数。首先定义了离散型和连续型随机变量，然后详细阐述了概率密度函数(PDF)和累计分布函数(CDF)的概念与性质。对于离散型随机变量，解释了分布律的计算方法；对于连续型随机变量，则

本文系统介绍排列组合的基本原理。从排列数与组合数的定义出发，阐述阶乘运算及其应用，推导两者的计算公式与相互关系。重点讲解组合恒等式、捆绑法与插板法等实用技巧，并通过对二项式定理的证明展现组合数在多项式展开中的核心作用。

本文阐述条件概率的原理公式P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，推导事件的独立性定义P(AB)=P(A)P(B)，介绍全概率法则分解方法，并详解贝叶斯定理的核心公式P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)，通过疾病检

本文介绍了概率论的基本概念：样本空间、事件和概率函数，阐述了柯尔莫果洛夫提出的概率论公理，并定义了σ代数作为事件集合的数学基础。通过集合运算推导出概率的基本定理，如容斥原理和集合包含关系的概率性质，为构建严谨的概率理论框

本文系统性地回顾了集合论基础知识，明确了集合运算的符号表示和定义，包括并集、交集、补集等概念。深入探讨了集合的可数性及其证明方法，特别论证了实数集不可数性的精妙证明。同时在拓扑空间视角下，阐述了邻域、极限点、闭集、开集等

本研究提出了AFT（Attention-free Transformer），通过简化注意力机制的设计，有效降低了空间复杂度至O(Td)，同时保持模型性能。分析表明AFT可视为逐通道多头注意力的变体，并结合局部注意力机制衍

本文从周期信号傅里叶级数出发，通过引入极限概念推广到非周期信号分析。详细推导了连续信号的傅里叶变换对，并阐述了离散时域的非周期信号频域表示方法。最后给出了非周期连续信号的狄利克雷条件，为信号变换的可行性提供理论基础。