在上一篇文章中，我们介绍了对于周期信号而言，如何求其的傅里叶级数；现在我们继续将其推广到非周期信号上。进行这一推广的基本思路是将非周期信号看作是周期无限大的周期信号。

将傅里叶级数推广到非周期信号后，得到的结果就不再是离散的级数了，而是一个连续的频谱。这个过程实际上是一个函数到函数的映射，因此被称为傅里叶变换。

用求和的极限得到积分

在推广傅里叶级数之前，我们先使用求和的极限来得到积分。定积分实际上是在坐标轴上围成的曲边梯形的面积，而我们可以使用微元法来求出这个面积。假设要求 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分，可以将这个区间分为 $N$ 份，每一份的长度为 $\mathrm{\Delta }x$ 。然后：

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{N}f(a+i\ast \mathrm{\Delta }x)\mathrm{\Delta }x$$

其中 $\mathrm{\Delta }x=\frac{b-a}{N}$ 是每份区间的长度。记 $x^{\prime }=a+i\ast \mathrm{\Delta }x$ ，当 $N\to \mathrm{\infty }$ 时：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum _{i=0}^N$$

同理，就有了：

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum _{i=0}^{N}f(x^{\prime })\mathrm{\Delta }x={\int }_a^{b}f(x)dx$$

而当积分上下限为正负无穷时，这个式子就可以写成：

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(i\mathrm{\Delta }x)\mathrm{\Delta }x={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$$

连续信号的傅里叶变换

连续周期信号的傅里叶级数为：

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{n\omega xj}\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{T}({\int }_{T}f(t)e^{-n\omega tj}dt)e^{n\omega xj}\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\omega }{2\pi }({\int }_{T}f(t)e^{-n\omega tj}dt)e^{n\omega xj}\end{array}$$

当 $T\to \mathrm{\infty }$ ，也即 $\omega \to 0$ 时：（在求和变为积分时，原来的 $n\omega$ 等于新的 $\omega$ ）

$$\begin{array}{rl}& \underset{\omega \to 0}{lim}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\omega }{2\pi }({\int }_{T}f(t)e^{-n\omega tj}dt)e^{n\omega xj}\\ =& \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-\omega tj}dt)e^{\omega xj}d\omega \end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-\omega tj}dt)e^{\omega xj}d\omega \end{array}$$

把其中的 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-\omega tj}dt$ 提取出来，就得到了一个变换对：

$$\begin{array}{rl}F(\omega )& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)e^{-\omega xj}dx\\ f(x)& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(\omega )e^{\omega xj}d\omega \end{array}$$

上面的式子称为傅里叶变换，它将一个信号变换为它的频谱表示；下面的变换称为傅里叶逆变换，它将频谱变换回原信号。

非周期连续信号的狄利克雷条件

将周期信号的狄利克雷条件推广，可以得到非周期信号的狄利克雷条件：

• $f(x)$ 绝对可积：${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|f(x)|dx<\mathrm{\infty }$ 。
• 在任意有限区间， $f(x)$ 只有有限个最值。
• 在任意有限区间，$f(x)$ 只有有限个间断点，且每个不连续点都是有限值。

非周期离散信号的傅里叶变换

和连续信号一样，先考虑离散信号的傅里叶级数：

$$\begin{array}{rl}x[n]& =\sum _{k=⟨N⟩}{a}_k{e}^{k\omega nj}\\ & =\sum _{k=⟨N⟩}\frac{1}{N}(\sum _{t=⟨N⟩}x[t]e^{-k\omega tj})e^{k\omega nj}\end{array}$$

然后求 $N\to \mathrm{\infty }$ ,即 $\omega \to 0$ 时的极限：

$$\begin{array}{rl}x[n]& =\underset{\omega \to 0}{lim}\sum _{k=⟨N⟩}\frac{\omega }{2\pi }(\sum _{t=⟨N⟩}x[t]e^{-k\omega tj})e^{k\omega nj}\\ & =\underset{\omega \to 0}{lim}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\omega }{2\pi }(\sum _{t=⟨N⟩}x[t]e^{-k\omega tj})e^{k\omega nj}\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{t=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[t]e^{-\omega tj})e^{\omega nj}d\omega \end{array}$$

所以得到了一个变换对：

$$\begin{array}{rl}X(\omega )& =\sum _{t=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[t]e^{-\omega tj}\\ x[n]& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(\omega )e^{\omega nj}d\omega \end{array}$$