傅里叶变换是将信号从时域变换的频域的变换。

时域与频域

时域描述了信号在时间上的变换，例如，声音信号的时域描述了声压随时间的变化；而频域则描述了信号在频率上的变化，例如将声音信号从时域变换到频域后，我们可以知道声音在各个频率上的强度。频域实际上给了我们另一种看待信号的视角。

函数的内积

将离散信号看作是是向量，那么两个信号在区间 $[a,b]$的内积可以看作是这两个向量的内积：

$$⟨f,g⟩=\sum _{i=a}^{b}f[i]g[i]$$

把同样的定义推广到连续信号上，可以得到连续信号内积的定义：

$$⟨f,g⟩=\sum _{i=a}^b{f}_i{g}_i$$

不难发现，函数的内积满足交换律和分配律。在这个基础上，可以定义函数的正交性。如果两个函数在某区间上的内积为0，则称这两个函数在这个区间上正交。

这时有一个非常重要的结论：对于两个频率之比为有理数的正弦函数，他们正交的条件是频率不同或频率相同但是相位差为 $\frac{\pi }{2}$ 的奇数倍。即 $⟨\sin (a_{1}x+b_1),\sin (a_{2}x+b_2)⟩=0$ 的条件是 $a\ne b$ ，或 $a=b$ 但是 $b_1-b_2=(2k+1)\frac{\pi }{2},k\in Z$ 。证明如下：

$$\begin{array}{rl}& {\int }_L\sin (a_{1}x+b_1)\sin (a_{2}x+b_2)dx\\ =& \frac{1}{2}{\int }_L[\cos ((a_1-a_2)x+(b_1-b_2))-\cos ((a_1+a_2)x+(b_1+b_2))]dx\end{array}$$

其中， $L$ 是两个正弦函数的一个公共周期，这里的 ${\int }_L$ 指在任意周期区间上积分。当 $a_1\ne a_2$ 时，积分中的两个$\cos$ 函数在周期区间上积分为 $0$，故此时整个积分为 $0$ ；当 $a_1=a_2$ 时，积分的结果变为：

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2}{\int }_L[\cos (b_1-b_2)-\cos ((a_1+a_2)x+(b_1+b_2))]dx\\ =& \frac{1}{2}{\int }_L\cos (b_1-b_2)dx\end{array}$$

因此当 $b_1-b_2=(2k+1)\pi ,k\in Z$ 时，原积分为 $0$ 。根据这个结论，我们很容易得到一个推论，即下面的函数在任意周期区间上相互正交：

$$1,\sin \omega x,\cos \omega x,\sin 2\omega x,\cos 2\omega x,...,\sin n\omega x,\cos n\omega x$$

傅里叶级数与狄利克雷条件

既然上面的函数系是相互正交的，那是否能作为函数的一组基底来组成并表示任何函数呢？更形式化一点，是否任何周期函数都能写成下面的形式呢：

$$\begin{array}{rl}f(t)& =a_0+(a_1\cos \omega t+b_1\sin \omega t)+(a_2\cos 2\omega t+b_2\sin 2\omega t)\\ & =a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t\end{array}$$

其中 $\omega =\frac{2\pi }{T}$ 是这个函数的基波频率（最低频率）。上面的级数叫作傅里叶级数。之所以希望将函数写成这种形式，是因为这种形式可以清晰地看出函数在各个频率上的分解。例如，如果级数中有一项为 $3\cos 4\omega x+0\sin 4\omega x$，那我们可以知道这个信号中频率为 $4\omega$ 的部分强度为 $4$。

这个问题的答案由德国科学家狄利克雷于1829年找到并证明。具体来说，如果一个函数满足以下三个条件（称为狄利克雷条件），那么它就可以被写成傅里叶级数的形式：

• 绝对可积性：这个函数在一个周期内绝对值的积分必须有限，即 ${\int }_T|f(x)|dx<\mathrm{\infty }$ 。这一条件保证了函数的“能量”有限，避免发散。
• 有限个极值点：函数在一个周期内只能有有限个极大值和极小值。这排除了无限振荡的函数（如 $f(x)=\sin (\frac{1}{x})$ 在 $x\to 0$ 附近的行为），确保函数变化不过于剧烈。
• 有限个第一类间断点：函数在一个周期内允许存在有限个第一类间断点（即左右极限存在但不相等，或存在可去间断点）。例如，方波信号在跳变点处满足此条件，但若有无穷多个间断点（如狄利克雷函数），则不满足。

通过辅助角公式和复指数函数，傅里叶变换还能写成下面两种形式：

$$\begin{array}{rl}f(x)& =a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\sin (n\omega x+{\theta }_n)\\ f(x)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{n\omega xj}\end{array}$$

周期函数的傅里叶变换

现在讨论如何求出这些系数。对于 $a_0$ 而言，我们知道后面的级数在任何周期区间上的积分都是 $0$ ，所以有 ${\int }_T{a}_{0}dx={\int }_{T}f(x)dx$ ，那么 $a_0=\frac{1}{T}{\int }_{T}f(x)dx$。

那如何求出剩下的系数呢？我们已经知道的事实是，$1,\sin \omega x,\cos \omega x,\sin 2\omega x,\cos 2\omega x,...,\sin n\omega x,\cos n\omega x$ 之间是相互正交的，而傅里叶级数正好是由这些项组成的。因此，只需要求函数与 $\sin k\omega x$ 或 $\cos k\omega x$ 的内积，就可以消掉其它项，剩下 ${\int }_T{a}_k{\cos }^{2}k\omega xdx$ 或 ${\int }_T{b}_k{\sin }^{2}k\omega xdx$ 。以$\cos$ 为例，就有了：

$${\int }_{T}f(x)\cos (k\omega x)dx={\int }_T{a}_k{\cos }^2(k\omega x)dx$$

因此 $a_k$ 的值就是：

$$\begin{array}{rl}{a}_k& =\frac{{\int }_{T}f(x)\cos (k\omega x)dx}{{\int }_T{\cos }^2(k\omega x)dx}\\ & =\frac{2{\int }_{T}f(x)\cos (k\omega x)dx}{{\int }_T(1+\cos 2k\omega x)dx}\\ & =\frac{2}{T}{\int }_{T}f(x)\cos (k\omega x)dx\end{array}$$

这样，$\cos k\omega x$ 就像一个个滤波器，滤出了各个频率上的分量。至此我们就得到了各个系数的表达式：

$$\begin{array}{rl}{a}_0& =\frac{1}{T}{\int }_{T}f(x)dx\\ a_n& =\frac{2}{T}{\int }_{T}f(x)\cos (n\omega x)dx\\ b_n& =\frac{2}{T}{\int }_{T}f(x)\sin (n\omega x)dx\end{array}$$

如果降低一点直观性，采用傅里叶级数的复指数形式有更加简洁的过程和更加统一的结果：

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{e}^{k\omega xj}\\ a_n& =\frac{1}{T}{\int }_{T}f(x)e^{-n\omega xj}dx\end{array}$$

下面来推导这个公式。
首先，函数 $e^{k\omega xj}$ 和 $e^{-n\omega xj}$ 在 $k\ne n$ 时正交，因为：

$$\begin{array}{rl}& {\int }_T{e}^{(k-n)\omega xj}dx\\ =& {\int }_T\cos [(k-n)\omega x]+j\sin [(k-n)\omega x]dx\\ =& \{\begin{array}{ll}T& k=n\\ 0& k\ne n\end{array}\end{array}$$

仿照之前的思路，将 $f(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{e}^{k\omega xj}$ 左右同时乘上 $e^{-n\omega xj}$ 并积分，可以得到：

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{T}f(x)e^{-n\omega xj}dx\\ =& \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_T{a}_k{e}^{(k-n)\omega xj}dx\end{array}$$

考虑右侧求和中每一项积分的值：

$$\begin{array}{r}{\int }_T{a}_k{e}^{(k-n)\omega xj}dx=\{\begin{array}{ll}{a}_k\ast T& k=n\\ 0& k\ne n\end{array}\end{array}$$

所以：

$$a_n=\frac{1}{T}{\int }_{T}f(x)e^{-n\omega xj}dx$$

周期函数傅里叶级数的性质

把信号分解为傅里叶级数的过程看作是一个变换，记作 $\mathcal{FS}$ 。为了叙述的方便，下面我们采用傅里叶级数的复指数形式，即 $f(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{n\omega xj}$ 。那么，$\mathcal{FS}$ 将 $f(t)$ 变换到 $a_n$，记作 $f(t)\stackrel{\mathcal{FS}}{\leftrightarrow }{a}_n$ 。为了强调在变换前$f$ 的自变量是时间，从这里开始我们使用 $f(t)$ 而不是 $f(x)$ 。

线性

$\mathcal{FS}$ 是线性的，这意味着如果：

$$\begin{array}{r}f(t)\stackrel{\mathcal{FS}}{\leftrightarrow }{a}_n\\ g(t)\stackrel{\mathcal{FS}}{\leftrightarrow }{b}_n\end{array}$$

那么

$$(f(t)+kg(t))\stackrel{\mathcal{FS}}{\leftrightarrow }(a_n+k{b}_n)$$

时移性

当信号 $f(t)$ 发生了一个时移，即 $f(t)\to f(t-t_0)$ 时，新信号的傅里叶级数 $a_n^{\prime }$ 的表达式为：

$$\begin{array}{rl}{a}_n^{\prime }& =\frac{1}{T}{\int }_{T}f(t-t_0)e^{-n\omega tj}dt\\ & =e^{-n\omega t_{0}j}\ast \frac{1}{T}{\int }_{T}f(t-t_0)e^{-n\omega (t-t_0)j}dt\\ & =e^{-n\omega t_{0}j}{a}_n\end{array}$$

也就是说，时移会使得傅里叶级数同时乘上 $e^{-n\omega t_{0}j}$ ，但每个系数的模长都不变。

时间反转性

当信号 $f(t)$ 在时间上发生了反转，即 $f(t)\to f(-t)$ 时，新信号的傅里叶级数为：

$$\begin{array}{rl}{a}_n^{\prime }& =\frac{1}{T}{\int }_{T}f(-t)e^{n\omega tj}dt\\ & =a_{-n}\end{array}$$

这里积分中指数函数幂部分变号是因为积分区间也发生了改变。如原来是在 $(a,b)$ 上求的积分，现在需要在 $(-b,-a)$ 上求。

所以：

$$f(-t)\stackrel{\mathcal{FS}}{\to }{a}_{-n}$$

相乘性质

如果两个信号相乘，得到的新信号的傅里叶级数是原信号傅里叶级数的卷积，即：

$$\begin{array}{rl}f(t)& \stackrel{\mathcal{FS}}{\to }{a}_n\\ g(t)& \stackrel{\mathcal{FS}}{\to }{b}_n\\ f(t)\ast g(t)& \stackrel{\mathcal{FS}}{\to }\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{b}_{t-k}\end{array}$$

在离散情况下，这个性质还可以归纳为 时域乘积，频域卷积；时域卷积，频域乘积

帕塞瓦尔定理

帕塞瓦尔定理可以通俗地表达为：一个周期信号的平均功率是各频率上分量的平均功率之和 。形式化地说，我们有：

$$\frac{1}{T}{\int }_T|f(t){|}^{2}dx=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|a_k{|}^2$$

离散周期信号的傅里叶级数

在上面的内容中，我们得到了最原始的傅里叶级数。但这个结论还不够好，因为它存在许多限制，例如要求信号是连续的、周期的。所以还需要将它推广到更一般的情况下。我们首先将其推广到离散周期信号上。

考虑一个周期为 $N$ 的离散信号 $x[n]$ ，其基波频率为 $\omega =\frac{2\pi }{N}$，我们希望得到数列 $a_n$ ，使得：

$$x[n]=\sum _{k=1}^N{a}_k{e}^{k\omega nj}$$

这里只使用 $N$ 项级数，是因为信号的周期为 $N$ ，从而 $e^{k\omega nj}=e^{k\omega (n+N)j}$。我们也可以将上面的式子写成下面的形式：

$$x[n]=\sum _{k=⟨N⟩}{a}_k{e}^{k\omega nj}$$

其中 $\sum _{n=⟨N⟩}$ 表示对任意一个周期区间求和。

为了继续沿用连续情况下的思路，我们首先验证离散情况下 $e^{k\omega nj}$ 的正交性。考虑以下求和：

$$\sum _{n=⟨N⟩}{e}^{k\omega nj}$$

将复指数展开，得到：

$$\begin{array}{rl}& \sum _{n=⟨N⟩}{e}^{k\omega nj}\\ =& \sum _{n=⟨N⟩}\cos k\omega n+j\sin k\omega n\\ =& \sum _{n=⟨N⟩}\cos \frac{2\pi kn}{N}+j\sin \frac{2\pi kn}{N}\end{array}$$

当$k=0,\pm N,\pm 2N,...$ 时，显然原式值为 $N$. 在其它情况下，由于周期性，我们只用证明原式在 $n=0,1,...,N-1$ 时的情况：

$$\begin{array}{rl}& \sum _{n=⟨N⟩}{e}^{k\omega nj}\\ =& \sum _{n=0}^{N-1}{e}^{k\omega nj}\end{array}$$

使用等比数列求和公式知：

$$\begin{array}{rl}& \sum _{n=0}^{N-1}{e}^{k\omega nj}\\ =& \frac{1-r^N}{1-r}\end{array}$$

其中 $r=e^{k\omega j}$ 为公比，$r^N=e^{kN\omega j}=e^{2\pi kj}=1$ ，所以原式值为 $0$。 因此，我们得到结论：

$$\sum _{n=⟨N⟩}{e}^{k\omega nj}=\{\begin{array}{ll}N& k=0,\pm N,\pm 2N,...\\ 0& \text{其他情况}\end{array}$$

那我们就可以沿用之前的思路，将 $x[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{e}^{k\omega nj}$ 两侧同乘 $e^{-r\omega nj}$ 并求和，得到：

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=⟨N⟩}x[n]e^{-r\omega nj}& =\sum _{n=⟨N⟩}\sum _{k=⟨N⟩}{a}_k{e}^{k\omega nj}{e}^{-r\omega nj}\\ & =\sum _{k=⟨N⟩}{a}_k\sum _{n=⟨N⟩}{e}^{(k-r)\omega nj}\end{array}$$

假设我们现在要求的系数是 $a_r$ ，其中 $r=⟨N⟩$ ，是和 $k$ 有一样取值范围的变量。右侧求和不为 $0$ 的条件是 $(k-r)$ 是 $N$ 的倍数，因为限制了 $k$ 在一个周期内取值，故仅在 $k=r$ 时求和不为零，因此原式可以写成：

$$\sum _{n=⟨N⟩}x[n]e^{-r\omega nj}=N{a}_r$$

于是$a_r=\frac{1}{N}\sum _{n=⟨N⟩}x[n]e^{-r\omega nj}$ ，即：

$$a_k=\frac{1}{N}\sum _{n=⟨T⟩}x[n]e^{-k\omega nj}$$

离散周期信号傅里叶级数的性质

大部分离散信号和连续信号傅里叶级数的性质都非常类似甚至相同，下面列举几个与连续情况有差异的性质。设离散信号 $x[n]$ 变换后的傅里叶级数为 $a_k$：

$$x[n]\stackrel{\mathcal{FS}}{\leftrightarrow }{a}_k$$

相乘性质

离散信号满足时域乘积，频域卷积；时域卷积，频域乘积：

$$x[n]y[n]\stackrel{\mathcal{FS}}{\leftrightarrow }\sum _{l=⟨N⟩}{a}_l{b}_{n-l}$$

离散信号的帕塞瓦尔定理

与连续情况下类似，离散信号满足：

$$\frac{1}{N}\sum _{n=⟨N⟩}|x[n]{|}^2=\sum _{k=⟨N⟩}|a_k{|}^2$$