信号及其能量与功率

信号在数学上可以表示为一个或多个变量的函数。例如，声音是声压对时间的函数，一张黑白图像可以看作是坐标对亮度的函数。

信号从连续和离散的角度可以分为连续信号和离散信号，这里的“连续”或“离散”指的是自变量的连续或离散。为了在形式上区分这两种信号，我们用 $x(t)$ 表示连续信号，用 $x[n]$ 表示离散信号。

在物理上，能量和电压的关系式为 $E = \int_{t_1}^{t_2}\frac 1 R v^2(t)dt$ ,其中 $R$ 是电阻阻值，$v(t)$ 是电压对时间的函数；类似的，，可以定义一个信号在区间上的能量。对于连续信号 $x(t)$，它在区间 $(t_1,t_2)$ 上的能量就是：

$$
E_{(t1,t2)} = \int_{t_1}^{t_2} |x(t)|^2 dt
$$

而对于离散信号也有类似的定义：

$$
E_{[n1,n2]} = \sum_{i=n_1}^{n_2} |x[i]|^2
$$

将能量除以时间就得到了功率的定义：

$$
\begin{align}
P_{(t_1,t_2)} &= \frac 1{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2} |x(t)|^2 dt\\
P_{(n_1,n_2)} &= \frac 1{n_2-n_1 + 1} \sum_{i=n_1}^{n_2} |x[i]|^2
\end{align}
$$

这里的功率和能量已经脱离了其在物理上的意义。把区间扩大到无穷区间 $(-\infty,\infty)$ ，可以得到整个信号的能量和功率。对于能量，将积分/求和的上下限替换成正/负无穷即可，但对于功率，则需要使用极限来定义：

$$
\begin{align}
P_\infty &= \lim_{T\rightarrow\infty} \frac 1 {2T} \int_{-T}^T|x(t)|^2dt\\
P_\infty &= \lim_{T\rightarrow\infty} \frac 1 {2T+1} \sum_{i=-T}^T |x[i]|^2
\end{align}
$$

根据信号的能量和功率，可以将信号分为四种：

	功率 $P_\infty$	能量 $E_\infty$	特点
零信号（Zero Signal）	$0$	$0$	信号恒为零，既没有能量也没有功率。
能量信号 (Energy Signal)	$0$	$<\infty$	信号的总能量有限，平均功率为零。
功率信号 (Power Signal)	$<\infty$	$\infty$	信号的平均功率有限，但总能量无限。
既非能量信号也非功率信号 (Neither Energy nor Power Signal)	$\infty$	$\infty$	信号的总能量和平均功率都无限。