卷积是一种通过两个函数生成第三个函数的运算。

离散卷积

两个离散函数卷积的定义为：

$$
(f * g)[n] = \sum_{i=-\infty}^\infty f[i]g[n-i]
$$

从直觉上说，上面的式子可以看成是对 $f(t)$ 在整个区间的上的加权求和：第 $i$ 项的权值是 $g[n-i]$ 。我们可以把 $f[n]$ 和 $g[n]$ 想象成两张表，那么 $(f*g)[n]$ 的值就是将 $g$ 表翻转后，将它的第 $0$ 项和 $f$ 表的第 $n$ 项对齐，然后将两张表上的对应值相乘后求和。简单计算可以得知， $f$ 第 $i$ 项对应的就是 $g[n-i]$ 。

为什么要将 $g$ 表翻转呢？这个问题要联系实际来回答。在实际应用中，我们对一个信号和它的响应函数进行卷积。响应函数是一个系数，描述了信号对系统会有什么影响。例如，响应函数 $g[n] = \frac 1 n$ 表示信号在某一时刻的值经过这个系统处理后，会以反比的形式衰减。那么为了得到系统在时刻 $n$ 的输出，就需要累加前面所有时刻的影响。而从时刻 $i$ 到时刻 $n$ 之间经过了 $n-i$ 个时刻，因此时刻 $i$ 对应的响应函数的值就是 $g[n-i]$ 。综上所述，翻转的本质是让时间对齐。

当然，就数学而言，我们也可以选择不翻转，此时得到的是 互相关运算 。在图像处理中，卷积常常与互相关运算混用。

连续卷积

将离散卷积的求和改为积分，就得到了连续卷积的表达式：

$$
(f*g)(t) = \int_{-\infty}^\infty f(\tau)g(t-\tau)d\tau
$$

卷积的性质

1.交换律

交换$f$ 和 $g$ 的顺序，卷积的结果不变，即 $(f*g)(t)=(g*f)(t)$ 。设 $u=t-\tau$ ，那么有：

$$
(f*g)(t) = \int_{-(-\infty)}^{-\infty} f(t-u)g(u) d(t-u)= \int_{-\infty}^{\infty} f(t-u)g(u) d(u)=(g*f)(t)
$$

2.分配律

$[f*(g+h)](t) = (f*g)(t) + (f*h)(t)$。

3.结合律

$(f*(g*h))(t)=((f*g)*h)(t)$ 。分配律和结合律都可以通过将卷积展开为积分形式直接得到。