对称矩阵,正定矩阵和相似矩阵

Junity 发布于 2025-02-09 656 次阅读 最后更新于 2025-04-22 589 字 预计阅读时间: 3 分钟


AI 摘要

本文介绍对称矩阵、正定矩阵和相似矩阵的核心概念。对称矩阵满足转置等于自身,其特例是厄米特矩阵,具有实的特征值和正交特征向量。正定矩阵是特征值全为正的对称矩阵,对应的二次型恒大于零。相似矩阵通过可逆矩阵关联,描述同一线性变换在不同基底下的表现。

对称矩阵和厄米特矩阵

对称矩阵(symmetric matrix) 指转置和自身相等的矩阵:若矩阵 A 满足 A=AT,那么 A 就是对称的。更通俗易懂地说,对称矩阵就是沿主对角线轴对称的矩阵。

任何矩阵和其转置的和与乘积都是对称的。以 ATA 为例,(ATA)T=AT(ATT)=ATA

对于一个复矩阵,把上面描述中的转置改为共轭转置,就可以得到厄米特矩阵(Hermitian matrix) 。对称矩阵也可以看作是厄米特矩阵的特例。

对称矩阵的特征值与特征向量

对称矩阵和厄米特矩阵有一个很好的性质,它们的特征值都是实的,并且特征向量相互正交。实的特征值很好证明,设 λx 是厄米特矩阵 A 的特征值和特征向量,有:

Ax=λx

同时共轭转置后有:

xHAH=λxH

再相乘:

xHAHx=λxHx=xHλx

因为 AH=A,故

xHAx=xHλx=xHλx

因此 λ=λ

而对于特征向量垂直的性质,可以参考谱定理

正定矩阵

正定矩阵(positive-definite matrix) 是特征值都为正的对称矩阵(或厄米特矩阵)。相对应地,特征值都非负的矩阵称为 半正定矩阵(positive-semidefinite matrix)

正定矩阵所对应的二次型 xTAx 恒大于 0,这也是正定矩阵的正式定义:若一个矩阵对任何向量 x 都满足 xTAx>0 ,则称为正定矩阵。相对应地还可以定义负定矩阵。

相似矩阵

如果两个矩阵 A , B 满足存在一个可逆矩阵 M 使得 A=M1BM ,那么称 AB 相似 ,也称他们 合同

相似矩阵具有具有相同的特征值。设 λxA 的特征值和特征向量,那么 Ax=λx 。代入 A=M1BM,得 M1BMx=λx,同时左乘 MBMx=λMx。因此 λ 也是 B 的特征值。

相似矩阵的 “相似” 意味着两个矩阵对应的线性变换是相似的,只是使用的基底不一样。例如,[2003][3002] 是相似的,它们都将向量沿两个不同方向分别拉伸 23 倍,只是方向不同。

此作者没有提供个人介绍。
最后更新于 2025-04-22