对称矩阵和厄米特矩阵
对称矩阵(symmetric matrix) 指转置和自身相等的矩阵:若矩阵
任何矩阵和其转置的和与乘积都是对称的。以
对于一个复矩阵,把上面描述中的转置改为共轭转置,就可以得到厄米特矩阵(Hermitian matrix) 。对称矩阵也可以看作是厄米特矩阵的特例。
对称矩阵的特征值与特征向量
对称矩阵和厄米特矩阵有一个很好的性质,它们的特征值都是实的,并且特征向量相互正交。实的特征值很好证明,设
同时共轭转置后有:
再相乘:
因为
因此
而对于特征向量垂直的性质,可以参考谱定理
正定矩阵
正定矩阵(positive-definite matrix) 是特征值都为正的对称矩阵(或厄米特矩阵)。相对应地,特征值都非负的矩阵称为 半正定矩阵(positive-semidefinite matrix) 。
正定矩阵所对应的二次型
相似矩阵
如果两个矩阵
相似矩阵具有具有相同的特征值。设
相似矩阵的 “相似” 意味着两个矩阵对应的线性变换是相似的,只是使用的基底不一样。例如,
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