条件概率
条件概率 是已知一个事件发生时,另一个事件发生的概率。例如,在投掷一枚骰子时,我们已经知道结果是偶数,问结果是
根据直觉,我们可以预见到,在某些情况下,
接下来的问题是如何得到
,因此 。 - 设
, 是 的子事件,
从第二点可以看出,对于
这和
如果不考虑严谨性,还可以用文氏图来帮助理解这个公式:
乘法法则
将条件概率的公式逆用,我们可以得到下面的公式:
同时,由于
事件的独立性
两个事件独立,说明一个事件发生不会改变另一个事件发生的概率,这意味着
如果已知两个事件独立,最大的好处是可以直接由他们的概率之积计算他们积事件的概率。因此我们从这一点出发,定义两个事件的独立为:
类似的,对于
任意取出其中的
下面给出几个独立事件的例子:
- 在一个
的带坐标网格上取一个点。点的横坐标是否为偶数与纵坐标是否为偶数无关。 - 连续两次投掷骰子,这两次投掷的结果无关。
全概率法则
有时直接求一个事件发生的概率比较困难,这时我们可以将事件空间划分成若干不相交的部分,并求这个事件在这些部分下的条件概率。
上面的描述可能不甚清晰,我们接下来用数学语言来进一步完善称述。对于样本空间
覆盖了样本空间 : 互不相交 :对于任意两个 和 , 。
而事件
贝叶斯定律
先验概率和后验概率
先验概率是指在我们获得任何新数据或证据之前,对某一事件或假设的概率估计。它通常基于先前的知识、经验或假设。
而后验概率是指在观察到新数据或证据后,对某一事件或假设的概率进行更新后的估计。它是贝叶斯推断的核心结果。
例如,在投掷一个骰子时,我们认为结果是
贝叶斯定律
贝叶斯定律的核心是,给出一个先验概率
回顾上文提到的一般乘法法则,可以发现:
因此
这个公式可以理解为,
一个广为流传的例子如下:
已知有一种疾病,发病率是
- 如果有病,则准确率是
(即有 未检出阳性); - 如果没有病,则误报率是
(即有 误报为阳性)。
现在,如果一个人测试显示阳性,请问他患病的概率是多少?
已知条件可以写成下面的样子:
要求
而
代入可得
更一般的贝叶斯概率
当
而在连续情况下,这个公式就变成了:
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