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本文系统介绍了概率论中的随机变量及其分布函数。首先定义了离散型和连续型随机变量，然后详细阐述了概率密度函数(PDF)和累计分布函数(CDF)的概念与性质。对于离散型随机变量，解释了分布律的计算方法；对于连续型随机变量，则

本文系统介绍排列组合的基本原理。从排列数与组合数的定义出发，阐述阶乘运算及其应用，推导两者的计算公式与相互关系。重点讲解组合恒等式、捆绑法与插板法等实用技巧，并通过对二项式定理的证明展现组合数在多项式展开中的核心作用。

本文系统讲解条件概率、独立性及贝叶斯定理。详细剖析条件概率的公式推导，阐明事件独立性的数学定义与实用意义，并运用全概率法则导出了贝叶斯定理的核心公式。通过典型医学诊断案例，直观展示贝叶斯定理如何将先验概率转化为后验概率，

本文介绍了概率论的基本概念：样本空间、事件和概率函数，阐述了柯尔莫果洛夫提出的概率论公理，并定义了σ代数作为事件集合的数学基础。通过集合运算推导出概率的基本定理，如容斥原理和集合包含关系的概率性质，为构建严谨的概率理论框

本文系统性地回顾了集合论基础知识，明确了集合运算的符号表示和定义，包括并集、交集、补集等概念。深入探讨了集合的可数性及其证明方法，特别论证了实数集不可数性的精妙证明。同时在拓扑空间视角下，阐述了邻域、极限点、闭集、开集等

本研究提出了AFT（Attention-free Transformer），通过简化注意力机制的设计，有效降低了空间复杂度至O(Td)，同时保持模型性能。分析表明AFT可视为逐通道多头注意力的变体，并结合局部注意力机制衍

本文从周期信号傅里叶级数出发，通过引入极限概念推广到非周期信号分析。详细推导了连续信号的傅里叶变换对，并阐述了离散时域的非周期信号频域表示方法。最后给出了非周期连续信号的狄利克雷条件，为信号变换的可行性提供理论基础。

本文阐述了傅里叶变换的基本原理，着重讨论周期信号的傅里叶级数展开。通过函数正交性分析，推导出傅里叶级数系数公式，并研究了复指数形式表达。详细介绍了狄利克雷条件及傅里叶变换的重要性质，包括线性、时移、时间反转等特性。同时，

在我们的日常生活中，系统无处不在，从简单的输入到输出的转换中，隐藏着复杂的数学规则与分类。在这篇文章中，我们将深入探讨系统的定义、分类及其基本特性，揭示连续与离散、线性与非线性、时不变与时变、因果与非因果等维度背后的奥秘

卷积，这一数学运算背后的奥秘，正定义了我们如何通过两个函数生成一个全新的函数。尽管公式看似复杂，但它实际上蕴含着信号与系统之间的核心联系。通过对离散和连续卷积的深入解析，我们将揭示其在图像处理和信号响应中的重要角色。为何