PID控制算法

PID算法

PID控制算法是一种通过调整系统的控制输入，使得系统的输出快速、准确逼近设定值的算法。例如，通过对一个水池的阀门应用PID算法控制进出水量，可以使得水池的水量总是保持在设定值上，即使被外界改变（往里加水或往外排水）也能迅速恢复。

PID算法的名称来源于其中起关键作用的三个值： 比例项 $P$ ，积分项 $I$ 和微分项 $D$ 。其中，$P$ 的意义是通过为误差乘上一个特定系数来实现负反馈调节；$I$ 的作用是在时间上累积误差，防止当输出与目标差异很小时调节速度过低；$D$ 的作用是根据误差减小的速度降低调节速度，防止出现“过冲”现象。

更具体地，考虑一个连续系统输入为 $u(t)$ ，正的 $u(t)$ 会使系统的输出增大，并且增大的速度和 $u(t)$ 正相关；而负的 $u(t)$ 恰恰相反。系统的输出为 $f(t)$，而我们希望它保持在 $a$ 。上面提到的水池就是这样一个系统的例子，这时 $u(t)$ 可以看作是某时刻的进/出水量，系统的输出可以看作是水池的总水量。我们以这个系统为例子来进行讲解。

为了调节系统的输入，首先需要计算出目标值和当前值的误差值 $e(t)=a-f(t)$ 。PID算法的第一项是利用这个误差进行负反馈调节，即将这个误差乘上一个系数 $K_P$ 后叠加到输出中：$P_t=K_P\ast e(t)$。这使得

单纯使用 $P_t$ 来调节输入确实可以达到一定的控制效果，但系统对于输入的响应具有 延后性 ，这意味着只使用 $P_t$ 会导致系统的输出在设定值的上下波动而无法稳定，并且这个波动的大小与 $K_P$ 有关：$K_P$ 越大，系统恢复到设定值的速度就越快，但波动也越大；反之波动小，但恢复到设定值的速度慢。此外，当系统的输出和设定值相差较小时，只使用 $P_t$ 可能会使系统无法以一个很高的精度逼近设定值。为了解决这两个问题，PID算法引入了积分项 $I$ 和微分项 $D$ 。

微分项 $D$ 解决了第一个问题，即系统会在设定值上下波动的问题。这个问题出现的原因是系统会 过冲 ，即由于延后性的存在，系统在误差快速减小时无法及时调整输入使之变小。PID算法的解决方法是，将误差对时间的微分乘上一个系数 $K_D$ 后叠加到输入中，这样当误差快速减小时，微分项会抑制输入从而防止过冲。$D$ 项的计算公式为 $D_t=K_D\ast \frac{de(t)}{dt}$ 。

而积分项 $I$ 解决了当误差较小时系统无法进一步逼近设定值的问题。PID将从 $0$ 开始至今的误差按时间进行积分，并叠加到输入中，使得较小的误差可以随时间累积而变大，从而让系统进一步逼近给定值。这部分的公式如下：$I_t=K_I\ast {\int }_0^{t}e(\tau )d\tau$ ，其中 $K_I$ 和 $K_P$ 及 $K_D$ 类似，是一个可调节的系数。

PID算法的结果就是这三项之和：

$$\begin{array}{rl}& PI{D}_t\\ =& P_t+I_t+D_t\\ =& K_P\ast e(t)+K_I\ast {\int }_0^{t}e(\tau )d\tau +K_D\ast \frac{de(t)}{dt}\end{array}$$

而某些教科书上的是将系数合并的结果：

$$PI{D}_t=K_P(e(t)+\frac{1}{T_t}{\int }_0^{t}e(\tau )d\tau +T_d\frac{de(t)}{dt})$$

并称 $T_t$ 和 $T_D$ 为 积分时间常数 和 微分时间常数 。

积分饱和

如果认真思考可以发现，朴素的PID算法对积分项的引入不够完善。由于积分项会累积从 $0$ 时刻到目前的所有误差，因此当系统平稳逼近给定值时，系统将因为正的积分项而产生过冲，这种现象称为 积分饱和 。为了防止这个现象，通常会在PID算法中加入 抗积分饱和算法 。常见的方法有：

• 积分分离或者称为去积分算法；
• 在饱和的时候将积分器的累计值初始化到一个比较理想的值；
• 若积分饱和因为目标值突然变化而产生，将目标值以适当斜率的斜坡变化可避免此情形；
• 将积分累计量限制上下限，避免积分累计量超过限制值；
• 如果PID输出已经饱和，重新计算积分累计量，使输出恰好为合理的范围；

限于篇幅，读者可以自习了解。