复向量

复向量，即由复数组成的向量。和实向量相比，复向量的模长不能由向量和它的转置得到。例如考虑向量 $x = \begin{bmatrix} 1+i\\0\end{bmatrix}$ ，其模长为 $\sqrt 2$ ，但将其与转置相乘的结果为 $(1+i)^2 = 0$。为了让复向量也有和实向量类似的模长定义，我们定义共轭转置如下：

$$
\text{设复向量} x= \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\...\\x_n\end{bmatrix},其共轭转置 x^H=[\overline{x_1},\overline{x_2},...,\overline{x_n}]=\overline{X^T}
$$

而实向量的转置相当于是共轭转置在虚部为 $0$ 时的特殊情况。有了共轭转置，我们就可以定义复向量的模长如下：

$$
|x| = x^Hx
$$

对于复向量而言，正交的定义也由 $x^Ty=0$ 变为了 $x^Hy=0$ 。

当复向量和复数相乘时，根据复数乘法的运算法则，可以得到：

$$
(\lambda x)^H = \overline \lambda x^H
$$

复矩阵

复矩阵是含有复数元素的矩阵。和复向量类似，可以定义复矩阵的共轭转置为$A^H=\overline{A^T}$。如果一个复矩阵经过共轭转置后不变，则称其为厄米特矩阵（Hermitian matrixes），即对称矩阵在复矩阵上的推广。不难发现，所有实矩阵都是厄米特矩阵。

正交矩阵也可以推广到复矩阵上。如果一个复矩阵的所有列都标准正交，即 $A^HA=AA^H=I$，那么称其为一个酉矩阵（Unitary Matrix）。

实数与复数的区别