零. 标量

标量是指只有大小而没有方向的量，典型的标量包括全体的实数 $R$ 和复数 $C$ 。在本文中，我们仅考虑这两种标量，在不需要区分是实数或复数的情况下，我们使用 $F$ 来表示 $R$ 或 $C$ 中的任意一种。

一.向量

向量是向量空间的基本组成元素，定义在向量上的基本运算包括 标量乘法 和 向量加法。

标量乘法是将一个向量乘上一个标量，得到另一个向量的过程。例如，向量 $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\ast 2=\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right]$ 。向量的标量乘法满足 交换律 。

向量加法则是将两个向量相加，得到新向量的过程。例如，向量 $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\right]$ 。向量的向量加法也满足交换律。同时，标量乘法对向量加法也满足 分配律 。

除了我们高中熟知的 欧几里得向量 （即由若干 $F$ 中的元素组成的 元组 ，典型的欧几里得向量包括 $R^2$ 和 $R^3$ 中的元素。）之外，广义的向量可以指任何可以进行这两种运算的东西，我们紧接着就会在下文看到。

二.向量空间

向量空间是由一些可以进行标量乘法和向量加法的元素组成的。更严谨地，一个 向量空间 是带有加法和变量乘法的集合 $V$ ，其中 $V$ 中的元素称为 向量 。 $V$ 及其上的两个运算应该满足下面的性质：

1. 加法交换律 ：对于任何 $u,v\in V,u+v=v+u$ 。
2. 加法结合律 ：对于任何 $u,v,w\in V,u+v+w=u+(v+w)$ 。
3. 加法单位元 ：存在元素 $\overrightarrow{0}\in V$ 使得对于任何 $u\in V$ 有 $u+\overrightarrow{0}=u$ 。
4. 加法逆元 ：对于任何 $u\in V$ ，存在 $v\in V$ 使得 $u+v=\overrightarrow{0}$ 。
5. 乘法单位元：对于任何 $u\in V$ ，都有 $1u=u$ 。
6. 乘法分配率 ：对于任何 $a,b\in F,u,v\in V$ ，都有 $a(u+v)=au+av$ 。

注意，在上面第 $3$ 和第 $4$ 条中，我们使用了 $\overrightarrow{0}$ 来表示这不是我们熟知的数字 $0$ ，而是 $V$ 中的一个特殊的 "零向量"，这个向量具有和任何其他向量相加都等于这个向量的性质。这个向量和其他向量相加时的行为和数字 $0$ 与其他数字相加时的行为相似，因此我们使用 $\overrightarrow{0}$ 来表示它。

最为常用的向量空间莫过于形如 $R^n$ 的 欧几里得空间 了，例如，$R^2$ 是一个二维的欧几里得空间，其中的元素是我们熟知的平面向量。除此之外，全体一元函数 也构成了一个向量空间：其中的零元素是 $f(x)=0$ ，每个元素$f(x)$的加法逆元就是 $g(x)=-f(x)$ 。

子空间

向量空间的子空间是向量空间的一个子集，并且这个子集依旧构成一个向量空间。这意味着这个子集中的元素关于加法和标量乘法运算 封闭 ，即进行这些运算后的结果也在这个子集中。

一个子集是子空间的充要条件是：

1. 零元素 $\overrightarrow{0}$ 在这个子集中。
2. 子集元素对加法和标量乘法运算封闭。

一个向量空间的最小子空间仅包含元素 $\overrightarrow{0}$ ，这里的 最小 指具有最少的元素。

例如，考虑向量空间 $R^2$ ，这可以看成是一个平面，它的一个子空间是任意一条过原点的直线，关于这些直线是子空间的证明读者可以自行完成。

子空间可以相加，得到的结果是包含这些子空间的最小的向量空间。我们可以通过让这些子空间中的元素两两相加来构造这个和空间：

设 $U_1,U_2,...,U_n$ 是向量空间 $V$ 的子空间，他们的和定义为他们中的元素所有可能的和组成的集合：

$$U_1+U_2+...+U_n=\{u_1+u_2+...+u_n|u_1\in U_1,u_2\in U_2,...,u_n\in U_n\}$$

例如，平面上两条过原点的不同直线所代表的子空间的和正好是这个平面，因为根据平面向量基本定理，任何平面上的向量都可以由这两条直线上的向量的和表示。